Định Lý Bốn Bình Phương Của Lagrange Và Một Số Cải Tiến

Luận văn này tập trung nghiên cứu về Định lý bốn bình phương của Lagrange, một định lý nền tảng trong lý thuyết số, phát biểu rằng mọi số nguyên không âm đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của bốn bình phương của các số nguyên. Luận văn đi sâu vào phân tích các chứng minh lịch sử và các mở rộng cổ điển của định lý này, bao gồm Định lý ba bình phương của Legendre-Gauss và bài toán Waring.

Phần quan trọng của luận văn là khám phá các cải tiến gần đây đối với định lý bốn bình phương, đặc biệt là công trình của Zhi-Wei Sun và cộng sự. Các cải tiến này bao gồm việc đưa ra các ràng buộc bổ sung giữa các số hạng trong tổng bốn bình phương, cũng như phát triển các thuật toán hiệu quả để tìm các biểu diễn này.

Luận văn cũng đề cập đến các bài toán ứng dụng liên quan đến biểu diễn số nguyên dưới dạng tổng các bình phương, minh họa cách áp dụng các định lý lý thuyết số vào các bài toán thực tế.

• Mở đầu
• Chương 1. Định lý bốn bình phương của Lagrange
  • 1.1 Biểu diễn tổng bình phương và Định lý bốn bình phương của Lagrange
  • 1.2 Định lý Legendre-Gauss và Bài toán Waring
• Chương 2. Cải tiến Định lý bốn bình phương của Z.W.Sun và Y.C. Sun
  • 2.1 Cải tiến của Z.W. Sun
  • 2.2 Cải tiến của Z.W. Sun – Y.C. Sun
• Chương 3. Cải tiến của L. Goldmakher-P. Pollack và Thuật toán tìm biểu diễn
  • 3.1 Tập ràng buộc và cải tiến của L. Goldmakher và P. Pollack
  • 3.2 Thuật toán tìm biểu diễn tổng bình phương
• Kết luận
• Tài liệu tham khảo