Growth Of The Number Of Simple Closed Geodesics On Hyperbolic Surfaces

Growth of the number of simple closed geodesics on hyperbolic surfaces

Tác giả: Maryam Mirzakhani

Lĩnh vực: Toán học

Nội dung tài liệu:

Nghiên cứu này tập trung vào việc khảo sát sự tăng trưởng của $s_X(L)$, tức là số lượng các đường trắc địa đơn đóng đơn giản có độ dài nhỏ hơn $L$ trên một bề mặt hyperbolic hoàn chỉnh $X$ có diện tích hữu hạn. Bên cạnh đó, bài viết còn phân tích tần suất xuất hiện của các loại đường trắc địa đơn đóng đơn giản khác nhau trên $X$ và mối quan hệ của chúng với thể tích không gian mô-đun của các bề mặt Riemann có biên.

Nghiên cứu định nghĩa $c_X(L)$ là số đường trắc địa đóng nguyên thủy có độ dài nhỏ hơn $L$. Các kết quả trước đây của Delsarte, Huber và Selberg chỉ ra rằng $c_X(L)$ có tiệm cận là $e^{c L}$, với $c$ là một hằng số, và sự tăng trưởng tiệm cận này không phụ thuộc vào thể loại của $X$. Tuy nhiên, chỉ một số ít đường trắc địa là đơn giản, gây khó khăn trong việc nhận dạng chúng trong $pi_1(X)$.

Để hiểu rõ hơn về sự tăng trưởng của $s_X(L)$, bài viết đề xuất phương pháp phân tách và nghiên cứu các loại đường trắc địa đơn đóng đơn giản khác nhau trên $X$. Một khái niệm quan trọng được đưa ra là “kiểu” của đường trắc địa đơn đóng, được xác định bởi tác động của nhóm lớp ánh xạ (mapping class group) $Mod_{g,n}$ lên tập hợp các lớp đồng luân của đường cong đóng đơn giản trên bề mặt $S_{g,n}$.

Mục lục chi tiết:

• 1. Introduction
• 2. Background material
• 3. Counting integral multi-curves
• 4. Integration over the moduli space of hyperbolic surfaces
• 5. Counting curves and Weil-Petersson volumes
• 6. Counting different types of simple closed curves