Luận văn: Xây dựng không gian LP cho đại số toán tử

Luận Văn Tốt Nghiệp

Xây Dựng Không Gian Lp Cho Đại Số Toán Tử

Tác giả: Vũ Mai Liên

Lĩnh vực: Đại số Toán tử

Nội dung tài liệu:

Luận văn tập trung vào việc xây dựng các không gian L^p (với 1 ≤ p < ∞) cho các lớp đại số toán tử trên không gian Hilbert phức H. Nghiên cứu dựa trên quan điểm của lý thuyết độ đo trên không gian tô pô compact địa phương X, xem tích phân như là các phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm liên tục triệt tiêu bên ngoài một tập compact.

Luận văn trình bày chi tiết các khái niệm chuẩn bị, bao gồm không gian tô pô, phiếm hàm tuyến tính, các định lý liên quan đến biểu diễn phiếm hàm tuyến tính và xây dựng không gian L^p. Cụ thể, Chương 1 cung cấp kiến thức nền tảng, bao gồm các khái niệm mở đầu, biểu diễn phiếm hàm tuyến tính, sự thác triển của toán tử và không gian Hilbert. Chương 2 đi sâu vào xây dựng không gian L^p cho lớp các toán tử compact, tập trung vào tính chất của toán tử compact và khái niệm vết. Chương 3 tiếp nối với việc xây dựng không gian L^p cho đại số von Neumann với một vết chuẩn tắc chính xác nửa hữu hạn, giới thiệu lý thuyết về tích phân không giao hoán.

Luận văn đã thành công trong việc áp dụng các khái niệm lý thuyết độ đo để xây dựng không gian L^p cho các lớp đại số toán tử khác nhau, mở rộng từ toán tử compact đến đại số von Neumann.

Mục lục chi tiết:

• Bảng ký hiệu
• Mở đầu
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
  • 1.1 Một số khái niệm mở đầu
  • 1.2 Biểu diễn các phiếm hàm tuyến tính
  • 1.3 Sự thác triển của toán tử
  • 1.4 Không gian Hilbert
    • 1.4.1 Định nghĩa tích trong
    • 1.4.2 Hàm thuần nhất
    • 1.4.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
    • 1.4.4 Định nghĩa không gian Hilbert
• Chương 2: Xây dựng không gian L^p cho lớp các toán tử compact
  • 2.1 Đại số Banach
  • 2.2 Toán tử compact
    • 2.2.1 Khái niệm lớp toán tử compact
    • 2.2.2 Tính chất của toán tử compact
    • 2.2.3 Toán tử hạng một
    • 2.2.4 Đại số Calkin
    • 2.2.5 Toán tử Fredholm
  • 2.3 Vết
    • 2.3.1 Định nghĩa vết
    • 2.3.2 Lớp toán tử vết và lớp toán tử Hilbert-Schmidt
    • 2.3.3 Một dạng cụ thể của lớp toán tử Hilbert-Schmidt
    • 2.3.4 Tích phân của toán tử compact
• Chương 3: Xây dựng không gian L^p cho đại số von Neumann với vết chuẩn tắc chính xác nửa hữu hạn
  • 3.1 Đại số von Neumann
  • 3.2 Hàm vết trên đại số von Neumann
  • 3.3 Sự hội tụ theo độ đo
  • 3.4 Tích phân theo vết
    • 3.4.1 Xây dựng tích phân theo vết
• Kết luận
• Tài liệu tham khảo