Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhập môn K – lý thuyết và liên quan tới lý thuyết đồng điều

NHẬP MÔN K – LÝ THUYẾT VÀ LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU

Tác giả: Trần Phong

Lĩnh vực: Toán học (Cụ thể là Tôpô đại số)

Nội dung tài liệu:
Luận văn thạc sĩ này tập trung nghiên cứu về K – lý thuyết tôpô, một công cụ mạnh mẽ trong Tôpô đại số, có khả năng giải quyết nhiều vấn đề trong Hình học – Tôpô và các lĩnh vực toán học khác. Tài liệu này đi sâu vào K – lý thuyết tôpô, xây dựng dựa trên không gian phân thớ, và liên hệ nó với các bài toán đại số. Luận văn cũng khám phá K – lý thuyết đại số, mối liên hệ giữa K – lý thuyết tôpô và đại số Banach, cũng như mối quan hệ giữa tuần hoàn Bott và K – lý thuyết. Cuối cùng, tài liệu trình bày các phương pháp tính K – nhóm cho các không gian tôpô, các khái niệm về lý thuyết đồng điều và đối đồng điều, và cách chúng liên kết với K – lý thuyết.

Mục lục chi tiết:

• Lời cảm ơn
• Danh mục các ký hiệu
• Mở đầu
• Chương 1 – Nhập môn về K – lý thuyết
• 1.1. Sơ lược về không gian phân thớ
• 1.1.1. Ví dụ mở đầu
• 1.1.2. Không gian phân thớ
• 1.1.3. Đồng cấu và đẳng cấu phân thớ; phạm trù các phân thớ
• 1.2. Đa tạp phức Stiefel và đa tạp phức Grassman
• 1.3. Phạm trù Bund_C
• 1.4. Xây dựng phép toán trên các phân thớ vec-tơ
• 1.5. Các hàm tử liên tục và các phép toán trên Bund_C(B)
• 1.6. Nửa vành Vect_C(B)
• 1.7. Nhóm thứ nhất của K − lý thuyết tôpô, K(X)
• 1.7.1. Định lý phân loại
• 1.7.2. Hàm tử K(X)
• 1.7.3. Hàm tử K₁(X)
• 1.7.4. Mô tả K(X)
• Chương 2 – Một số phương pháp tính K – nhóm của một số các không gian tôpô
• 2.1. Sử dụng định lý tích ngoài cơ bản để tính K – nhóm
• 2.1.1. Tích ngoài cho K(X)
• 2.1.2. Ứng dụng tính K(S²); K(CP¹); K(S²);K(CP¹)
• 2.2. Sử dụng dãy khớp, tích ngoài rút gọn và tuần hoàn Bott
• 2.2.1. Một số khái niệm
• 2.2.2. Các dãy khớp của K- nhóm
• 2.2.3. Tích ngoài rút gọn
• 2.2.4. Tuần hoàn Bott
• 2.3. Sử dụng đối đồng điều
• 2.3.1. Đối đồng điều
• 2.3.2. Tính K – nhóm thông qua đối đồng điều
• Chương 3 – Liên quan tới lý thuyết đồng điều
• 3.1. K – lý thuyết như lý thuyết đồng điều của C*-đại số
• 3.1.1. Đại số Banach và C*-đại số
• 3.1.2. Hàm tử K₀
• 3.1.3. Hàm tử K₁
• 3.1.4. Lý thuyết đồng điều
• 3.1.5. Lý thuyết đối đồng điều
• 3.1.6. Liên hệ giữa K – lý thuyết tôpô với K – lý thuyết C*-đại số
• 3.2. Mối liên hệ giữa tuần hoàn Bott và K – lý thuyết
• 3.2.1. Tuần hoàn Bott
• 3.2.2. Nhóm đồng luân π_n
• 3.2.3. Liên hệ nhóm đồng luân và K – lý thuyết
• Kết luận
• Tài liệu tham khảo