Luận văn: Vành Euclide Và Các Số Nguyên Đại Số

Vành Euclide và các số nguyên đại số

Tác giả: Vũ Thị Phương Thảo

Lĩnh vực: Toán học

Nội dung tài liệu:

Luận văn này tập trung nghiên cứu về vành Euclide, một khái niệm trừu tượng trong lý thuyết vành nhưng có ứng dụng rộng rãi, đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi. Mục tiêu là đưa các cách tiếp cận của toán cao cấp vào việc giải các bài toán sơ cấp thông qua việc nghiên cứu vành Euclide, mở rộng vành, bao đóng nguyên, phần tử nguyên đại số, chuẩn và vết.

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 đi sâu vào khái niệm vành Euclide và bao đóng nguyên. Chương này trình bày về hai loại vành đặc biệt: vành Z[√d] và Z[√p, √q], khái niệm vành Euclide với các ví dụ minh họa, khái niệm số nguyên đại số và bao đóng nguyên đại số, cũng như chuẩn và vết của các số đại số. Một số định lý quan trọng liên quan đến vành Euclide được chứng minh, bao gồm các vành Z[i], Z[√d] và vành đa thức K[x].

Chương 2 tập trung vào việc vận dụng các kiến thức lý thuyết đã trình bày ở Chương 1 để giải quyết các bài toán đại số sơ cấp. Cụ thể, chương này khai thác tính chất của chuẩn và vết trong các vành Euclide đã đề cập để giải các bài toán liên quan đến sự tồn tại nghiệm trong Z[√d]. Đồng thời, chương cũng hệ thống các bài toán sơ cấp mà lời giải dựa trên các kết quả về vành các số nguyên đại số.

Mục lục chi tiết:

• Mở đầu
• Chương 1: Vành Euclide và bao đóng nguyên
• 1.1 Vành Z[√d] và Z[√p, √q]
• 1.2 Vành Euclide
• 1.3 Vành các số nguyên đại số
• Chương 2: Một số vận dụng
• 2.1 Chứng minh tồn tại nghiệm trong Z[α]
• 2.2 Số nguyên đại số
• Kết luận