Ứng dụng của đa diện Newton vào việc nghiên cứu các bất đẳng thức Łojasiewicz và một số vấn đề của lý thuyết tối ưu

Ứng Dụng Của Đa Diện Newton Vào Việc Nghiên Cứu Các Bất Đẳng Thức Łojasiewicz Và Một Số Vấn Đề Của Lý Thuyết Tối Ưu

Tác giả: Đặng Văn Đoạt

Lĩnh vực: Toán học

Nội dung tài liệu:

Luận án này tập trung vào việc ứng dụng đa diện Newton để nghiên cứu các vấn đề trong tối ưu và giải tích. Đa diện Newton, một khái niệm quan trọng trong lý thuyết kỳ dị và hình học đại số, được sử dụng để phân tích thông tin hình học, đại số, tổ hợp và giải tích của các hệ phương trình đa thức. Nghiên cứu này đề cập đến bốn kết quả chính:

• Đưa ra một điều kiện đủ để một đa thức không âm có thể biểu diễn dưới dạng tổng bình phương của các đa thức khác, dựa trên đa diện Newton của đa thức đó.
• Chứng minh sự tồn tại của một tập hợp nửa đại số mở và trù mật trong không gian các đa thức có cùng một đa diện Newton, đảm bảo tính xác định của bài toán tìm infimum toàn cục cho các đa thức bị chặn dưới trong tập hợp này.
• Đề xuất một tiêu chuẩn mới để xác định sự tồn tại của bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục, cung cấp phương pháp kiểm tra cho trường hợp hai biến.
• Đưa ra các ước lượng cho số mũ Łojasiewicz thông qua bậc của đa thức và các số mũ dễ tính toán hơn.

Đối với đa thức hai biến, luận án còn thực hiện tính toán tường minh số mũ Łojasiewicz và biểu diễn chúng thông qua các tính chất hình học của lược đồ Newton khi đa thức không suy biến theo lược đồ Newton tại vô hạn. Nghiên cứu cũng đưa ra một dạng tường minh của bất đẳng thức kiểu Hörmander với các giá trị cụ thể cho các số mũ.

Mục lục chi tiết:

– Mở đầu
– Chương 1: Điều kiện đủ để một đa thức thực là tổng bình phương của các đa thức
– Chương 2: Tính đặt chỉnh của bài toán tối ưu đa thức
– Chương 3: Bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục của hàm đa thức
– Chương 4: Bất đẳng thức Łojasiewicz của hàm đa thức trên R²
– Kết luận
– Tài liệu tham khảo