Luận văn Thạc sĩ Toán học: Toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn

Toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn

Tác giả: Hoàng Anh Tuấn

Lĩnh vực: Toán học

Nội dung tài liệu:

Luận văn này tập trung nghiên cứu về toán tử vi phân tuyến tính có hệ số bị chặn trên trục số. Cụ thể, luận văn xem xét toán tử dạng Lx = x + A(t)x, với A(t) là ma trận hàm liên tục và bị chặn. Nghiên cứu này nhằm làm rõ các tính chất của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất, cũng như các điều kiện tồn tại toán tử ngược và tính chất Fredholm của toán tử vi phân tuyến tính.

Luận văn bao gồm ba chương chính. Chương 1 đi sâu vào cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính, thiết lập mối liên hệ giữa khái niệm khả qui và hầu khả qui của phương trình thuần nhất. Chương 2 trình bày điều kiện tồn tại toán tử ngược, xem xét các khái niệm hàm hầu tuần hoàn, hàm truy hồi và chứng minh các bổ đề kỹ thuật để chỉ ra rằng toán tử L: C¹(Rⁿ) → C(Rⁿ) có toán tử ngược bị chặn trong một số trường hợp nhất định. Chương 3 đề cập đến sự bảo toàn tính Fredholm của toán tử L, dựa trên các khái niệm ma trận hệ số hội tụ tích phân và định vị tại vô cực, nhằm xác định khi nào toán tử La là Fredholm.

Các phương pháp chứng minh được sử dụng trong luận văn chủ yếu dựa trên các công trình của Mukhamadiev, áp dụng toán tử giới hạn tại vô cực.

Mục lục chi tiết:

• KÝ HIỆU
• MỞ ĐẦU
• CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH
  • I Phổ của toán tử tuyến tính
  • II Cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính
  • III. Ứng dụng
• CHƯƠNG 2: SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ NGƯỢC CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH
  • I Hàm liên tục đều bị chặn
  • II Hàm đầu tuần hoàn
  • III Hàm truy đồi
  • IV Các bổ đề
  • V Điều kiện tồn tại toán tử ngược
• CHƯƠNG 3: VỀ SỰ BẢO TOÀN TÍNH FREDHOLM CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH
  • I Định nghĩa và kết quả
  • II Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa hội tụ tích phân tại vô cực
  • III Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa định vị tại vô cực
• TÀI LIỆU THAM KHẢO