Logarithmic singularity of the Szego kernel and a global invariant of strictly pseudoconvex domains

Logarithmic singularity of the Szegö kernel and a global invariant of strictly pseudoconvex domains

Tác giả: Kengo Hirachi

Lĩnh vực: Toán học

Nội dung tài liệu:

Nghiên cứu này tiếp nối chương trình của Fefferman nhằm khám phá hình học và phân tích của các miền lồi giả nghiêm ngặt. Ý tưởng trung tâm là xem xét các hạt nhân Bergman và Szegö của miền như những phép tương tự của hạt nhân nhiệt trên đa tạp Riemann. Trong hình học Riemann (hoặc bảo giác), các hệ số của khai triển tiệm cận của hạt nhân nhiệt có thể được biểu diễn bằng độ cong của metric. Bằng cách tích phân các hệ số này, người ta có thể thu được các định lý chỉ số trong nhiều bối cảnh khác nhau. Đối với các hạt nhân Bergman và Szegö, đã có những tiến bộ đáng kể trong việc mô tả các khai triển tiệm cận dựa trên lý thuyết bất biến. Nghiên cứu này tập trung vào việc tìm kiếm các bất biến phát sinh từ tích phân của các hệ số trong khai triển.

Công trình này chứng minh rằng tích phân của hệ số của điểm kỳ dị logarit của hạt nhân Szegö mang lại một bất biến bảo giác kép của một miền Ω, hoặc một bất biến CR của biên ∂Ω, và hơn nữa bất biến này không thay đổi dưới các nhiễu loạn của miền. Đồng thời, công trình cũng chỉ ra rằng cùng một bất biến xuất hiện dưới dạng hệ số của số hạng logarit trong khai triển thể tích của miền đối với phần tử thể tích Bergman. Kết quả thứ hai này là một phép tương tự với việc suy ra một bất biến bảo giác từ khai triển thể tích của các đa tạp Einstein co compact bảo giác, xuất hiện trong sự tương ứng AdS/CFT.

Mục lục chi tiết:

• 1. Introduction
• 2. The Bergman and Szegö kernels as microfunctions
• 3. Kashiwara’s analysis of the kernel functions
• 4. Proofs of the main theorems
• 5. Proof of Proposition 3