Luận văn: Tích Phân Ngẫu Nhiên Đối Với Martingale

TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI MARTINGALE

Tác giả: Nguyễn Văn Tính

Lĩnh vực: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Nội dung tài liệu:

Luận văn Thạc sĩ Khoa học này trình bày về lĩnh vực Tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale. Nội dung được hệ thống hóa và nghiên cứu sâu hơn về các khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, cũng như các tính chất và ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale. Luận văn bao gồm ba chương chính.

Chương 1 cung cấp kiến thức nền tảng, bao gồm không gian Lº, tính đo được, hàm biến phân bị chặn và tích phân Stieltjes, không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, lọc, và các điều kiện hội tụ. Đồng thời, chương này cũng giới thiệu về quá trình ngẫu nhiên, các định nghĩa cơ bản, và hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng là Quá trình Poisson và Chuyển động Brown.

Chương 2 tập trung vào Tích phân ngẫu nhiên, nghiên cứu các tập hợp và quá trình dự đoán được, khoảng thời gian ngẫu nhiên, độ đo trên các tập dự đoán được, cùng với việc mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân.

Chương 3 đề cập đến Công thức Ito, tìm hiểu về biến phân bậc hai, các tính chất của biến phân bậc hai, công thức Ito một chiều, và các ứng dụng của công thức này, bao gồm đặc trưng của chuyển động Brown, quá trình mũ, và một họ Martingale sinh ra bởi M.

Mục lục chi tiết:

• Lời nói đầu
• 1. Kiến thức chuẩn bị
  • 1.1 Không gian Lº và tính đo được
  • 1.2 Hàm biến phân bị chặn và tích phân Stieltjes
  • 1.3 Không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, lọc
  • 1.4 Điều kiện hội tụ
  • 1.5 Quá trình ngẫu nhiên
    • 1.5.1 Các định nghĩa
    • 1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng
  • 1.6 Thời điểm dừng
  • 1.7 Kỳ vọng có điều kiện và tính chất
    • 1.7.1 Các định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện
    • 1.7.2 Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện
  • 1.8 Martingale
• 2. Tích phân ngẫu nhiên đối với L2-Martingale
  • 2.1 Các tập hợp và quá trình dự đoán được
  • 2.2 Khoảng thời gian ngẫu nhiên
  • 2.3 Độ đo trên các tập hợp dự đoán được
  • 2.4 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên
  • 2.5 Mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân
• 3. Công thức Ito
  • 3.1 Quá trình biến phân bậc hai và các tính chất
    • 3.1.1 Định nghĩa và đặc trưng của biến phân bậc hai
    • 3.1.2 Tính chất của biến phân bậc hai đối với L2-Martingale
    • 3.1.3 Định lý giới hạn
  • 3.2 Công thức Ito một chiều
  • 3.3 Ứng dụng của công thức Ito
    • 3.3.1 Đặc trưng của chuyển động Brown
    • 3.3.2 Quá trình mũ
    • 3.3.3 Một họ Martingale sinh ra bởi M
• Kết luận
• Tài liệu tham khảo