Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Tác giả: Phạm Lan Phương
Lĩnh vực: Giải tích
Nội dung tài liệu: Luận văn Thạc sĩ Khoa học này trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Luận văn bao gồm hai chương chính. Chương 1 cung cấp các kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm các không gian Sobolev, Holder, cùng với các định lý Fredholm về tính giải được của phương trình tuyến tính trong không gian Banach và Hilbert. Chương 2 tập trung vào bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Trong chương này, tác giả trình bày khái niệm nghiệm suy rộng trong không gian Sobolev W^{1,2}(Omega) và chứng minh tính giải được Fredholm cho các hệ phương trình dạng bảo toàn. Đối với các hệ phương trình dạng không bảo toàn, luận văn đi sâu vào chứng minh các đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm, đồng thời phát biểu tính giải được Fredholm trong không gian Holder C^{2,beta}(Omega).
Mục lục chi tiết:
1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Sobolev
1.1.1 Không gian Lᵖ(Ω), 1 < p < +∞ 1.1.2 Không gian W¹‚ᵖ(Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.1.3 Không gian W₀¹‚ᵖ(Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.2 Không gian Holder 1.2.1 Định nghĩa không gian Cᵏ(Ω), Cᵏ(Ω) 1.2.2 Định nghĩa không gian C⁰,α(Ω) 1.2.3 Định nghĩa không gian Cˡ,α(Ω) 1.3 Các định lý nhúng 1.3.1 Định nghĩa phép nhúng 1.3.2 Định lý nhúng vào Lᵖ(Ω) 1.3.3 Định lý nhúng của không gian W¹‚ᵖ(Ω) 1.4 Một số bất đẳng thức 1.4.1 Bất đẳng thức Young 1.4.2 Bất đẳng thức Holder 1.4.3 Bất đẳng thức Poincare 1.5 Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính 1.5.1 Định nghĩa ánh xạ compact 1.5.2 Định nghĩa ánh xạ liên hợp 1.5.3 Định lý Fredholm trong không gian Banach 1.5.4 Định lý Fredholm trong không gian Hilbert 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet 2.1.1 Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet 2.1.2 Nghiệm suy rộng 2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng 2.2.1 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất 2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng 2.3 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng 2.3.1 Đánh giá max |u|Ω 2.3.2 Đánh giá |u|₁,α,Ω 2.3.3 Đánh giá |u|₁,α,Ω và ||u||W²,²(Ω) 2.4 Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder Cˡ,α(Ω) 2.5 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian Cˡ,α(Ω) Kết luận Tài liệu tham khảo