The distribution of integers with a divisor in a given interval

The Distribution of Integers with a Divisor in a Given Interval

Tác giả: Kevin Ford

Lĩnh vực: Mathematics

Nội dung tài liệu:

Nghiên cứu này xác định bậc độ lớn của $H(x, y, z)$, là số các số nguyên $n le x$ có một ước số trong khoảng $(y, z]$, cho mọi $x, y, z$. Đồng thời, bài báo cũng khảo sát $H_r(x, y, z)$, là số các số nguyên $n le x$ có chính xác $r$ ước số trong $(y, z]$. Khi $r=1$, chúng tôi thiết lập bậc độ lớn của $H_1(x, y, z)$ cho mọi $x, y, z$ thỏa mãn $z < x^{1/2-epsilon}$. Với mọi $r > 2$, $C > 1$ và $epsilon > 0$, chúng tôi xác định bậc độ lớn của $H_r(x, y, z)$ đồng nhất cho $y$ lớn và $y + y/(log y)^{log 4-1-epsilon} < z < min(y, x^{1/2-epsilon})$. Là hệ quả của các giới hạn này, chúng tôi giải quyết một phỏng đoán năm 1960 của Erdős và một số phỏng đoán của Tenenbaum. Một yếu tố then chốt trong các chứng minh là một kết quả mới về phân phối của các thống kê thứ tự đồng nhất.

Mục lục chi tiết:

• 1. Giới thiệu
• 2. Các bổ đề sơ bộ
• 3. Phác thảo các cận trên
• 4. Phác thảo các cận dưới
• 5. Chứng minh các định lý 1, 2, 3, 4 và 5
• 6. Các tổng ban đầu trên L(α; σ) và Lr(α; σ)
• 7. Cận trên theo S*(t; σ)
• 8. Cận trên: quy về tích phân
• 9. Cận dưới: các ước số cô lập
• 10. Cận dưới: quy về thể tích
• 11. Thống kê thứ tự đồng nhất
• 12. Thể tích cận dưới
• 13. Tích phân cận trên
• 14. Các ước số của các số nguyên tố dịch chuyển
• Tài liệu tham khảo