Xem trước tài liệu

Đang tải tài liệu...

Thông tin chi tiết tài liệu

Định dạng: PDF
Số trang: 78 trang
Dung lượng: 684 KB

Giới thiệu nội dung

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN

Tác giả: Trần Ngọc Thanh Trang

Lĩnh vực: Toán học

Nội dung tài liệu: Luận văn Thạc sĩ Toán học này tập trung nghiên cứu các vấn đề liên quan đến đa tạp con của một đa tạp Riemann. Cụ thể, luận văn đi sâu vào nghiên cứu về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con trên đa tạp Riemann, cũng như các siêu mặt trong không gian Euclid. Các kiến thức cơ bản về tôpô vi phân và hình học vi phân được hệ thống hóa làm nền tảng cho việc xây dựng các chương tiếp theo.

Mục lục chi tiết:

  • Trang phụ bìa
  • Lời cảm ơn
  • Mục lục
  • Mở đầu
  • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
    • 1.1. Đa tạp khả vi
      • 1.1.1. Đa tạp khả vi
        • 1.1.1.1. Đa tạp khả vi n chiều
        • 1.1.1.2. Ánh xạ khả vi
      • 1.1.2. Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc
        • 1.1.2.1. Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc TpM
        • 1.1.2.2. Phân thớ tiếp xúc
        • 1.1.2.3. Trường vectơ
        • 1.1.2.4. Trường mục tiêu
        • 1.1.2.5. Tích Lie của hai trường vectơ
        • 1.1.2.6. Ánh xạ tiếp xúc
      • 1.1.3. Đa tạp con
      • 1.1.4. Trường tenxơ
        • 1.1.4.1. Tích tenxơ
        • 1.1.4.2. Các tenxơ phản biến và hiệp biến
        • 1.1.4.3. Trường tenxơ
    • 1.2. Lý thuyết liên thông
      • 1.2.1. Định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp
        • 1.2.1.1. Ví dụ
        • 1.2.1.2. Ví dụ
      • 1.2.2. Đạo hàm thuận biến của trường tenxơ
      • 1.2.3. Tenxơ xoắn và tenxơ cong
      • 1.2.4. Đường trắc địa
    • 1.3. Đa tạp Riemann
      • 1.3.1. Khái niệm đa tạp Riemann
      • 1.3.2. Liên thông Riemann
        • 1.3.2.1. Định nghĩa
        • 1.3.2.2. Định lý
      • 1.3.3. Liên thông Levi – Cita
        • 1.3.3.1. Định nghĩa
        • 1.3.3.2. Định lý
      • 1.3.4. Độ cong trên đa tạp Riemann
        • 1.3.4.1. Những khảo sát đại số có liên quan
        • 1.3.4.2. Độ cong thiết diện
        • 1.3.4.3. Độ cong Ricci
      • 1.3.5. Ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann
      • 1.3.6. Tính đầy của đa tạp Riemann
        • 1.3.6.1. Định lý
        • 1.3.6.2. Bổ đề
  • Chương 2: Đa tạp con của một đa tạp Riemann
    • 2.1. Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann
      • 2.1.1. Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann. Công thức Gauss
        • 2.1.1.1. Mệnh đề
        • 2.1.1.2. Mệnh đề
      • 2.1.2. Công thức Weingarten
        • 2.1.2.1. Mệnh đề
        • 2.1.2.2. Mệnh đề
      • 2.1.3. Một số ví dụ minh họa
        • 2.1.3.1. Ví dụ
        • 2.1.3.2. Ví dụ
    • 2.2. Phương trình Gauss và Codazzi
      • 2.2.1. Phương trình Gauss
        • 2.2.1.1. Mệnh đề (Phương trình của Gauss)
        • 2.2.1.2. Hệ quả
          • 2.2.1.2.1. Ví dụ
          • 2.2.1.2.2. Ví dụ
      • 2.2.2. Phương trình Codazzi
        • 2.2.2.1. Mệnh đề (Phương trình của Codazzi)
        • 2.2.2.2. Hệ quả
        • 2.2.2.3. Mệnh đề
        • 2.2.2.4. Mệnh đề
    • 2.3. Các siêu mặt trong một không gian Euclide
      • 2.3.1. Tính chất cơ bản
        • 2.3.1.1. Định lý
      • 2.3.2. Định nghĩa
        • 2.3.2.1. Ví dụ
        • 2.3.2.2. Ví dụ
    • 2.4. Định lý cơ bản cho các siêu mặt
      • 2.4.1. Định lý
      • 2.4.2. Bổ đề
      • 2.4.3. Bổ đề
      • 2.4.4. Bổ đề
  • Kết luận
  • Tài liệu tham khảo