Convex Integration For Lipschitz Mappings And Counterexamples To Regularity

Convex integration for Lipschitz mappings and counterexamples to regularity

Tên đề tài: Convex integration for Lipschitz mappings and counterexamples to regularity

Tác giả: S. Muller and V. Sver´ak

Lĩnh vực: Annals of Mathematics

Nội dung tài liệu:

Bài báo này nghiên cứu các giải pháp Lipschitz cho các quan hệ vi phân riêng phần dạng ∇u(x) ∈ K hầu khắp nơi trong Ω, với u là ánh xạ Lipschitz từ tập Ω mở trong Rⁿ đến R^m và ∇u(x) là ma trận gradient của u. K là một tập con của tập hợp tất cả các ma trận thực m × n. Bên cạnh đó, các điều kiện biên và các điều kiện khác trên u cũng được xem xét.

Quan hệ ∇u(x) ∈ K là một trường hợp đặc biệt của các quan hệ vi phân riêng phần đã được nghiên cứu rộng rãi, đặc biệt liên quan đến các bài toán hình học như nhúng đẳng cự. Các kết quả nổi bật của Nash và Kuiper, cũng như các tổng quát hóa sâu rộng của Gromov, đã chỉ ra những đặc điểm đáng chú ý và bất ngờ về hành vi của các nhúng đẳng cự C¹ của Rⁿ vào Rⁿ⁺¹ và các nhúng đẳng cự Lipschitz của Rⁿ vào Rⁿ.

Gần đây hơn, các vấn đề liên quan đến giải pháp của các quan hệ dạng này đã được nghiên cứu trong bối cảnh đặc trưng hóa các cực tiểu tuyệt đối của các tích phân biến phân mô tả năng lượng đàn hồi của các cấu trúc vi mô tinh thể. Một quan sát quan trọng từ hướng nghiên cứu này chỉ ra rằng quan hệ ∇u(x) ∈ K có thể có các nghiệm dao động mạnh ngay cả khi sự khác biệt giữa hai ma trận (không giống nhau) trong K có hạng lớn hơn 2. Tình huống này, tuy xảy ra trong một số trường hợp rất thú vị, nhưng không được bao phủ bởi định lý của Gromov.

Kết quả chính của bài báo này chỉ ra rằng, trong trường hợp Lipschitz, việc làm việc với một “bao lồi” khác, được định nghĩa dựa trên các hàm lồi theo hạng một, có thể tự nhiên hơn. Bao lồi này có thể lớn hơn đáng kể so với bao lồi P-lồi.

Một ứng dụng quan trọng của định lý này là giải quyết một bài toán lâu dài về tính chính quy của các nghiệm yếu của các hệ phương trình elliptic. Cụ thể, bài báo xây dựng một ví dụ về tích phân biến phân I(u) = ∫_Ω F(∇u), trong đó F là một hàm F mạnh mẽ, lồi quasi-lồi với đạo hàm bậc hai bị chặn. Tuy nhiên, phương trình Euler-Lagrange của I có một lớp lớn các nghiệm yếu là Lipschitz nhưng không phải là C¹ trên bất kỳ tập con mở nào của Ω, và có các đặc điểm “hoang dã” khác.

Mục lục chi tiết:

• 1. Introduction
• 2. Preliminaries
• 3. Constructions
• 3.1. The basic construction.
• 3.2. Open relations.
• 3.3. Closed relations and in-approximations.
• 4. Applications to elliptic systems
• 4.1. Quasiconvex functions.
• 4.2. Deformations of T4-configurations.