A Mass Transference Principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures

A Mass Transference Principle and the Duffin-Schaeffer Conjecture for Hausdorff Measures

Tác giả: Victor Beresnevich and Sanju Velani

Lĩnh vực: Annals of Mathematics

Nội dung tài liệu:

Bài báo này giới thiệu và thảo luận một phiên bản của phỏng đoán Duffin-Schaeffer dựa trên thước đo Hausdorff trong lý thuyết số metric. Kết quả chính là Nguyên lý Chuyển Khối Lượng, cho phép chuyển đổi các phát biểu về thước đo Lebesgue đối với tập hợp lim sup của R^k sang các phát biểu về thước đo Hausdorff. Điều này cho thấy lý thuyết Lebesgue về các tập hợp lim sup là nền tảng cho lý thuyết Hausdorff tổng quát, một điều khá đáng ngạc nhiên khi lý thuyết sau được xem là một sự tinh chỉnh tinh tế của lý thuyết trước.

Nghiên cứu đề cập đến hai phỏng đoán chính:

• Phỏng đoán 1: Liên quan đến thước đo Lebesgue của tập hợp các điểm xấp xỉ đồng thời trong R^k.
• Phỏng đoán 2: Một tổng quát hóa của Phỏng đoán 1 cho thước đo Hausdorff.

Bài báo chứng minh rằng Phỏng đoán 1 kéo theo Phỏng đoán 2. Khi kết hợp với các kết quả đã biết, điều này chứng tỏ Phỏng đoán 2 đúng đối với k ≥ 2. Nghiên cứu cũng làm rõ mối quan hệ giữa định lý Khintchine và định lý Jarník, cho thấy rằng Phỏng đoán 1, ban đầu chỉ quan tâm đến lý thuyết metric của tập hợp các điểm xấp xỉ với thước đo môi trường, lại là nền tảng cho toàn bộ lý thuyết metric tổng quát.

Mục lục chi tiết:

• Abstract
• 1. Introduction
• 1.1. The Duffin-Schaeffer conjecture
• CONJECTURE 1
• THEOREM PV
• KHINTCHINE’S THEOREM
• 1.2. The Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures
• CONJECTURE 2
• JARNÍK’S THEOREM
• 1.3. Statement of results
• THEOREM 1
• COROLLARY 1
• COROLLARY 2
• 2. Preliminaries
• 2.1. Hausdorff measures
• 2.2. Positive and full measure sets
• 3. A mass transference principle
• LEMMA 1
• LEMMA (MASS DISTRIBUTION PRINCIPLE)
• LEMMA 2 (The 5r covering lemma)
• 3.1. Proof of Theorem 1
• 3.2. The Jarník-Besicovitch theorem
• 4. The K_G,B covering lemma
• LEMMA 5 (The K_G,B lemma)
• LEMMA 6
• 5. Proof of Theorem 2 (Mass Transference Principle)
• 5.1. The desired properties of K_η