Constrained steepest descent in the 2-Wasserstein metric

Constrained Steepest Descent in the 2-Wasserstein Metric

Tác giả: E. A. Carlen and W. Gangbo

Lĩnh vực: Annals of Mathematics

Nội dung tài liệu:

Bài viết này nghiên cứu một số bài toán biến phân có ràng buộc trong metric 2-Wasserstein. Cụ thể, chúng tôi tìm cách tối thiểu hóa một hàm mục tiêu bao gồm entropy và khoảng cách Wasserstein giữa hai phân phối xác suất, trong đó các phân phối này phải thỏa mãn các ràng buộc về trung bình và phương sai. Bài báo chứng minh sự tồn tại của các điểm cực tiểu, phân tích hình học của không gian các phân phối thỏa mãn ràng buộc và xác định các đường trắc địa trong không gian đó. Các kết quả này được sử dụng để suy ra một tiêu chí về tính lồi của các hàm mục tiêu trong hình học cảm sinh, và đặc biệt cho thấy rằng entropy là hàm lồi chặt trên một đa tạp ràng buộc.

Nghiên cứu này mở rộng các phương pháp trước đây về dòng chảy gradient cho các bài toán không chỉ tiêu tán mà còn bảo toàn các định luật. Các vấn đề được giải quyết trong bài báo này có nguồn gốc từ việc nghiên cứu một phương pháp biến phân để xây dựng và phân tích các nghiệm của phương trình Fokker-Planck phi tuyến.

Mục lục chi tiết:

• 1. Introduction
• 2. Riemannian geometry of the 2-Wasserstein metric
• 3. Geometry of the constraint manifold
• 4. The Euler-Lagrange equation
• 5. Existence of minimizers
• References