A Cornucopia Of Isospectral Pairs Of Metrics On Spheres With Different Local Geometries

A cornucopia of isospectral pairs of metrics on spheres with different local geometries

Tên đề tài: A cornucopia of isospectral pairs of metrics on spheres with different local geometries

Tác giả: Z. I. Szabó

Lĩnh vực: Annals of Mathematics

Nội dung tài liệu:

Bài viết này là phần kết của một nghiên cứu toàn diện bắt đầu từ [Sz5], nơi những cặp metric isospectral không tầm thường đầu tiên được xây dựng trên các quả cầu và mặt cầu. Các nghiên cứu này xem xét bốn trường hợp khác nhau, các quả cầu và mặt cầu này được xem xét trên cả nhóm Lie nilpotent 2-bước và các mở rộng giải được của chúng. Trong [Sz5], các xem xét được kết thúc hoàn toàn ở trường hợp quả cầu và trường hợp nilpotent. Các trường hợp khác chủ yếu được phác thảo. Trong bài báo này, các định lý isospectral được thiết lập hoàn toàn trên các mặt cầu. Các chi tiết quan trọng cần thiết về các mở rộng giải được cũng được kết thúc trong bài báo này.

Một kỹ thuật mới được gọi là kỹ thuật anticommutator được phát triển cho các cấu trúc này. Công cụ này hoàn toàn khác biệt với các phương pháp khác đã được áp dụng trong lĩnh vực này cho đến nay. Nó mang lại một loạt các ví dụ isospectral mới. Những ví dụ được xây dựng trên các mặt cầu địa trắc của các đa tạp điều hòa nhất định đặc biệt nổi bật. Một trong những mặt cầu này là đồng nhất (vì nó là mặt cầu địa trắc của không gian đồng nhất 2 điểm), trong khi các mặt cầu khác, mặc dù isospectral với mặt cầu trước đó, nhưng thậm chí còn không đồng nhất cục bộ. Điều này cho thấy thông tin ít ỏi được mã hóa về hình học (ví dụ: về các phép đẳng cự) trong phổ của Laplacian tác động lên các hàm.

Nghiên cứu về hình học phổ bắt đầu vào đầu những năm 1960. Lĩnh vực này có thể được gọi là hình học có thể nghe được và không thể nghe được. Tên gọi này gợi ý một cách dễ dàng hơn câu hỏi cơ bản của lĩnh vực: Hình học của các đa tạp Riemann compact được mã hóa đến mức nào trong phổ của Laplacian tác động lên các hàm?

Nó bắt đầu bùng nổ vào những năm 1980, tuy nhiên, tất cả các metric isospectral được xây dựng cho đến đầu những năm 1990 đều có cùng hình học cục bộ và chúng khác biệt với nhau chỉ bởi các bất biến toàn cục của chúng, chẳng hạn như các nhóm cơ bản.

Mục lục chi tiết:

• 1. Đại số Lie nilpotent 2-bước và các mở rộng giải được của chúng
• 2. Không gian tự đẳng cấu với anticommutator (bí danh ESWA)