Luận văn: Nguyên Lý Dirichlet Đối Với Bài Toán Biên Thứ Nhất Cho Phương Trình Elliptic Á Tuyến Tính Cấp Hai

Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

Tác giả: Nguyễn Thị Kiều Thu

Lĩnh vực: Toán học

Nội dung tài liệu:

Luận văn này nghiên cứu về Nguyên lý Dirichlet, một nguyên lý biến phân quan trọng trong lĩnh vực Giải tích điều hòa, liên quan đến bài toán biên thứ nhất và phương trình Laplace. Nghiên cứu mở rộng phạm vi của nguyên lý này khi tìm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng được sinh bởi hàm Lagrange. Luận văn trình bày mối quan hệ giữa nghiệm của bài toán cực tiểu phiếm hàm năng lượng và nghiệm của bài toán biên thứ nhất cho phương trình Euler-Lagrange, một lớp phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai quan trọng.

Nội dung luận văn bao gồm 29 trang, cấu trúc thành phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 tập trung vào tổng quan và hệ thống phép tính vi phân trong không gian Banach, các không gian hàm, đạo hàm Frechet cấp một và cấp hai, cùng với điều kiện đủ của cực trị. Chương 2 áp dụng các kiến thức đã chuẩn bị để khảo sát bài toán cực tiểu của phiếm hàm năng lượng và trình bày Nguyên lý Dirichlet cho bài toán biên thứ nhất của phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai.

Luận văn được viết chủ yếu dựa trên tài liệu tham khảo [1] và [3].

Mục lục chi tiết:

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

• 1.1. Một số khái niệm
• 1.1.1. Không gian Lm(Ω)
• 1.1.2. Bất đẳng thức Holder
• 1.1.3. Không gian Wm(Ω)
• 1.1.4. Định lý nhúng
• 1.1.5. Định lý vết
• 1.1.6. Công thức tích phân từng phần
• 1.1.7. Bất đẳng thức Cauchy suy rộng
• 1.2. Đạo hàm Frechet cấp một
• 1.2.1. Định nghĩa đạo hàm Frechet
• 1.2.2. Các ví dụ
• 1.2.3. Các tính chất
• 1.3. Đạo hàm Frechet cấp hai
• 1.3.1. Định nghĩa đạo hàm Frechet cấp hai
• 1.3.2. Các ví dụ
• 1.3.3. Vi phân cấp hai của phiếm hàm
• 1.3.4. Phân tích Taylor của phiếm hàm
• 1.4. Điểm dừng của phiếm hàm
• 1.4.1. Khái niệm
• 1.4.2. Điều kiện cần đối với cực trị của phiếm hàm
• 1.5. Điều kiện đủ của cực trị
• 1.5.1. Điều kiện đủ của cực tiểu địa phương

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE. NGUYÊN LÍ DIRICHLET.

• 2.1. Phiếm hàm năng lượng
• 2.1.1. Phiếm hàm năng lượng sinh bởi hàm Lagrange
• 2.1.2. Điều kiện của hàm Lagrange
• 2.1.3. Miền xác định của phiếm hàm năng lượng
• 2.2. Phương trình Euler-Lagrange
• 2.3. Sự tồn tại cực tiểu toàn cục của phiếm hàm năng lượng
• 2.3.1. Điểm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng
• 2.3.2. Đạo hàm cấp hai của hàm số J(t)
• 2.3.3. Sự tồn tại cực tiểu địa phương của phiếm hàm năng lượng
• 2.3.4. Sự tồn tại cực điểm toàn cục của phiếm hàm năng lượng
• 2.4. Nghiệm yếu của bài toán biên đối với một lớp phương trình elipptic á tuyến tính cấp hai. Nguyên lí Dirichlet
• 2.4.1. Phương trình Euler – Lagrange
• 2.4.2. Nghiệm yếu của bài toán (2.16) và (2.17)
• 2.4.3. Nguyên lý Dirichlet
• 2.4.4. Ví dụ

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO