P-Nhóm Và Ứng Dụng Trong Lý Thuyết Số

P-nhóm và Ứng Dụng Trong Lý Thuyết Số

Tác giả: Trương Bá Vấn

Lĩnh vực: Toán học

Nội dung tài liệu:

Luận văn Thạc sĩ Toán học này tập trung khám phá lý thuyết về p-nhóm và các ứng dụng của chúng trong lĩnh vực lý thuyết số. Tài liệu đi sâu vào cấu trúc của p-nhóm, khái niệm p-nhóm con Sylow, và cách chúng tương tác với các cấu trúc nhóm khác.

Phần đầu của luận văn trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm, bao gồm định nghĩa nhóm, đồng cấu, đẳng cấu, nhóm giao hoán, nhóm xyclic, nhóm con và nhóm con chuẩn tắc. Sau đó, tài liệu tập trung vào việc xây dựng nền tảng lý thuyết cho p-nhóm và p-nhóm con Sylow.

Phần thứ hai của luận văn tập trung vào việc ứng dụng lý thuyết p-nhóm để chứng minh các định lý quan trọng trong lý thuyết số. Các định lý như Định lý Fermat nhỏ, Định lý Wilson, Định lý Lucas, Định lý Fermat về tổng hai bình phương, ký hiệu Legendre và luật tương hỗ bậc hai sẽ được trình bày và phân tích chi tiết. Các ứng dụng này minh họa sức mạnh của lý thuyết p-nhóm trong việc giải quyết các vấn đề lý thuyết số.

Mục lục chi tiết sẽ được hiển thị dưới đây:

• Lời nói đầu
• Chương 1: Lý thuyết các p-nhóm
  • 1.1 Nhóm, đồng cấu và đẳng cấu nhóm
  • 1.2 Nhóm giao hoán và nhóm xyclic
  • 1.3 Nhóm con và nhóm con chuẩn tắc
  • 1.4 Nhóm thương và các định lý đẳng cấu
  • 1.5 Tác động của nhóm trên một tập
  • 1.6 Các p-nhóm và p-nhóm con Sylow
• Chương 2: Ứng dụng lý thuyết các p-nhóm trong lý thuyết số
  • 2.1 Bổ đề Burnside và các hệ quả
  • 2.2 Định lý Fermat bé
  • 2.3 Định lý Willson
  • 2.4 Định lý Lucas
  • 2.5 Định lý Fermat về tổng hai bình phương
  • 2.6 Luật tương hỗ bậc hai
  • 2.7 Về giá trị của ký hiệu Legendre ($frac{a}{p}$) và ($frac{p}{a}$)
• Kết luận
• Tài liệu tham khảo