Pair Correlation Densities Of Inhomogeneous Quadratic Forms

Pair correlation densities of inhomogeneous quadratic forms

Tên đề tài: Pair correlation densities of inhomogeneous quadratic forms

Tác giả: Jens Marklof

Lĩnh vực: Annals of Mathematics

Nội dung tài liệu:

Nghiên cứu này xem xét mật độ tương quan cặp của các dạng bậc hai không đồng nhất. Dưới các điều kiện Diophantine tường minh, chúng tôi chứng minh rằng các tương quan hai điểm cục bộ của dãy giá trị (m-a)² + (n-β)² với (m,n) ∈ Z², là các tương quan của một quá trình Poisson. Điều này một phần xác nhận một phỏng đoán về thống kê phổ của các hệ thống tích phân có thể lượng tử hóa, và cũng thiết lập một trường hợp đặc biệt của phiên bản định lượng của phỏng đoán Oppenheim cho các dạng bậc hai không đồng nhất có hạng 2,2.

Phương pháp chứng minh sử dụng tổng theta và phân loại các độ đo bất biến dưới luồng unipotent của Ratner. Công trình cũng thảo luận về các điều kiện Diophantine nhẹ cho α, khả năng α là số loại κ, và đưa ra một định lý về giới hạn của hàm tương quan cặp khi λ → ∞, cho kết quả là π(b-a). Ngoài ra, bài báo còn trình bày một hệ quả cho các biến ngẫu nhiên α, β độc lập được phân bố đều trong [0,1].

Nghiên cứu còn đề cập đến các kết quả nâng cao hơn, bao gồm cả việc các kết quả này có thể được mở rộng cho các dạng bậc hai có nhiều hơn hai biến. Bài báo cũng cung cấp một bản tóm tắt về các công trình trước đây trong lĩnh vực này, bao gồm cả công trình của Sarnak về phỏng đoán Berry-Tabor cho hầu hết các dạng bậc hai nhị phân xác định dương.

Mục lục chi tiết:

• 1. Introduction
• 2. The plan
• 3. Schrödinger and Shale-Weil representation
• 4. Theta sums
• 5. Unipotent flows