On De Giorgi’s Conjecture in Dimensions 4 and 5

On De Giorgi’s Conjecture In Dimensions 4 and 5

Tác giả: Nassif Ghoussoub and Changfeng Gui

Lĩnh vực: Annals of Mathematics

Nội dung tài liệu:

Bài viết này trình bày một phương pháp tiếp cận để chứng minh một phỏng đoán đã được De Giorgi đưa ra cách đây hơn 20 năm. Vấn đề này xuất phát từ lý thuyết chuyển pha và có liên quan chặt chẽ đến lý thuyết về siêu mặt tối thiểu, đôi khi được gọi là “phiên bản e của bài toán Bernstein cho các đồ thị tối thiểu”. Phỏng đoán đã được giải quyết hoàn chỉnh trong chiều 2 bởi các tác giả và trong chiều 3, trong khi phương pháp trong bài báo này dường như là đầu tiên sử dụng một cách thiết yếu, lời giải của bài toán Bernstein, khẳng định rằng các đồ thị tối thiểu trong không gian Euclid thực sự là các siêu phẳng với điều kiện chiều của không gian môi trường không quá 8. Lưu ý rằng lời giải của bài toán Bernstein cũng đã được sử dụng để đơn giản hóa một lập luận trong một công trình khác. Bài viết còn xem xét các trường hợp tổng quát hơn của phương trình vi phân với phi tuyến tính tổng quát hơn, bao gồm cả trường hợp F(u) = (1 – u²)².

Mục lục chi tiết:

• 1. Introduction
• 2. De Giorgi’s conjecture and Bernstein’s problem for minimal graphs
• 3. Energy estimates on cylinders
• 4. Proof of Theorem 1.1