Luận Văn: Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn.

Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn

Tác giả: Nguyễn Thanh Hường

Lĩnh vực: Toán ứng dụng

Nội dung tài liệu:

Luận án tập trung nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn, đặc biệt là các phương trình phi tuyến. Các phương trình này mô hình hóa nhiều hiện tượng thực tế như sự uốn cong của dầm và bản. Luận án phân loại phương trình vi phân cấp bốn thành hai loại: địa phương và không địa phương, đồng thời xem xét các phương pháp giải tiêu biểu như phương pháp biến phân, phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới, cùng với các định lý điểm bất động.

Nội dung chính của luận án bao gồm việc đề xuất các phương pháp đơn giản nhưng hiệu quả để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp để giải quyết năm bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn, bao gồm cả trường hợp địa phương và không địa phương, với các điều kiện biên khác nhau. Luận án cũng xem xét các bài toán liên quan đến phương trình song điều hòa và phương trình song điều hòa loại Kirchhoff. Các phương pháp được đề xuất giúp thiết lập điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm một cách dễ dàng kiểm tra, đồng thời xây dựng các dãy lặp hội tụ nhanh chóng. Luận án cũng cung cấp các ví dụ minh họa để chứng minh ưu thế của phương pháp đề xuất so với các phương pháp trước đây và thực hiện các thử nghiệm số để kiểm tra sự hội tụ.

Mục lục chi tiết:

• Chương 1: Kiến thức bổ trợ
• Chương 2: Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn
  • Mục 2.1: Bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn địa phương
    • 2.1.1. Trường hợp điều kiện biên tổ hợp
      • 2.1.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
      • 2.1.1.2. Phương pháp giải
  • Mục 2.1.2: Trường hợp điều kiện biên Dirichlet
    • 2.1.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
    • 2.1.2.2. Phương pháp giải và ví dụ số