Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán cực tiêu chuẩn nguyên tử của ma trận

Tác giả: Nguyễn Khánh Huyền

Lĩnh vực: Toán học

Nội dung tài liệu:

Luận văn này tập trung nghiên cứu bài toán cực tiểu chuẩn nguyên tử và các điều kiện giới hạn isometry (RIP) để phương pháp này cho nghiệm của bài toán cực tiểu hàm hạng tương ứng. Nghiên cứu cũng xem xét các thuật toán tối ưu như phương pháp điểm trong, phương pháp proximal gradient và phiên bản tăng tốc của nó để giải quyết các bài toán cực tiểu chuẩn nguyên tử.

Luận văn được cấu trúc gồm ba chương chính:

• Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị về phân tích giá trị kì dị của ma trận, các tính chất quan trọng của ma trận và chuẩn ma trận, cùng kiến thức về hàm liên hợp.
• Chương 2: Giới thiệu bài toán cực tiểu hàm hạng dựa trên mô hình thực tế, liên kết với bài toán cực tiểu chuẩn nguyên tử, và trình bày định lý về chuẩn nguyên tử là bao lồi của hàm hạng, cùng các điều kiện RIP.
• Chương 3: Trình bày hai phương pháp giải bài toán cực tiểu chuẩn nguyên tử, thực hiện thử nghiệm số để so sánh và ứng dụng vào các bài toán thực tế như xử lý ảnh và bài toán Netflix.

Ngoài ra, luận văn còn đề cập đến các khía cạnh phát triển và các hướng ứng dụng lý thuyết vào thực tiễn doanh nghiệp.

Mục lục chi tiết:

• Lời cam đoan
• Lời cảm ơn
• Danh mục các hình vẽ
• Mục lục
• Mở đầu
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
  • 1.1 Khai triển SVD
  • 1.2 Một số chuẩn ma trận
  • 1.3 Hàm liên hợp
• Chương 2: Bài toán cực tiểu chuẩn nguyên tử
  • 2.1 Mô hình thực tế và bài toán cực tiểu hàm hạng ma trận
  • 2.2 Bao lồi của hàm hạng ma trận
  • 2.3 Điều kiện RIP
• Chương 3: Thuật toán tối ưu cho bài toán cực tiểu chuẩn nguyên tử
  • 3.1 Đưa bài toán cực tiểu chuẩn nguyên tử về dạng quy hoạch nửa xác định dương
  • 3.2 Thuật toán proximal gradient
    • 3.2.1 Toán tử Proximal
    • 3.2.2 Thuật toán Proximal
  • 3.3 Thử nghiệm số
    • 3.3.1 Thử nghiệm với ma trận kích thước bé
    • 3.3.2 Xử lý ảnh với thuật toán FISTA
    • 3.3.3 Bài toán Netflix
• Kết luận và kiến nghị
• Tài liệu tham khảo