The Space Of Embedded Minimal Surfaces Of Fixed Genus In A 3-Manifold II; Multi-Valued Graphs In Disks

The Space Of Embedded Minimal Surfaces Of Fixed Genus In A 3-Manifold II; Estimates Off The Axis For Disks

Tác giả: Tobias H. Colding and William P. Minicozzi II

Lĩnh vực: Annals of Mathematics

Nội dung tài liệu:

Bài viết này là phần thứ hai trong một chuỗi các bài nghiên cứu mô tả không gian của tất cả các bề mặt tối thiểu nhúng có định dạng genus trong một 3-đa tạp đóng và cố định. Nghiên cứu tập trung vào việc hiểu cấu trúc cục bộ trong một quả cầu và đặc biệt là cấu trúc của một đĩa tối thiểu nhúng trong một quả cầu trong R³. Bài báo chứng minh rằng nếu độ cong của một đĩa như vậy trở nên lớn tại một điểm, thì nó chứa một đồ thị đa trị gần phẳng gần đó, kéo dài gần hết đến biên. Điều này được chứng minh bằng cách chỉ ra sự tồn tại của các đồ thị đa trị nhỏ gần các điểm có độ cong lớn, sau đó sử dụng kết quả mở rộng cho các đồ thị đa trị đã được chứng minh trong bài báo đầu tiên của chuỗi này.

Có hai mô hình cục bộ cho các đĩa tối thiểu nhúng: một là mặt phẳng (hoặc tổng quát hơn, một đồ thị tối thiểu), mô hình còn lại là một phần của bề mặt xoắn ốc. Chuỗi bài này sẽ cho thấy rằng mọi đĩa tối thiểu nhúng hoặc là đồ thị của một hàm hoặc là một cầu thang xoắn kép giống như bề mặt xoắn ốc. Một cầu thang xoắn kép được mô tả là gồm hai cầu thang xoắn kết hợp lại quanh một trục chung, một cái nằm trong cái kia.

Mục lục chi tiết:

• 0. Introduction
• 1. Poincaré and Caccioppoli-type inequalities for area and curvature
• 2. Finding large nearly stable pieces