Stretched Exponential Estimates On Growth Of The Number Of Periodic Points For Prevalent Diffeomorphisms I

Stretched exponential estimates on growth of the number of periodic points for prevalent diffeomorphisms I

Tác giả: Vadim Yu. Kaloshin and Brian R. Hunt

Lĩnh vực: Mathematics

Nội dung tài liệu:
Nghiên cứu này xem xét vấn đề tốc độ tăng trưởng của số điểm chu kỳ có chu kỳ $n$ đối với các vi lượng tương đương của các đa tạp hữu hạn chiều trơn. Đối với các hệ Anosov, sự tăng trưởng thường là theo cấp số nhân. Tuy nhiên, bài báo này chỉ ra rằng đối với một lớp các vi lượng tương đương được gọi là “phổ biến” (prevalent), sự tăng trưởng này không nhanh hơn nhiều so với cấp số nhân. Cụ thể, các tác giả chứng minh rằng với mọi $rho, delta > 0$, tồn tại một tập hợp phổ biến các vi lượng tương đương $C^{1+rho}$ (hoặc trơn hơn) mà số điểm chu kỳ $n$ bị chặn trên bởi $exp(Cn^{1+delta})$ với một hằng số $C$ độc lập với $n$. Bài báo cũng đưa ra một giới hạn liên quan đến sự suy giảm của tính hyperbolicity của các điểm chu kỳ theo hàm của $n$, và thu được các kết quả tương tự cho các tự đồng cấu một chiều. Sự tương phản giữa hành vi sinh theo kiểu tôpô tổng quát và hành vi sinh theo kiểu đo lường tổng quát đối với sự tăng trưởng của số điểm chu kỳ và sự suy giảm tính hyperbolicity của chúng cho thấy đây là một hiện tượng tinh tế và phức tạp, gợi nhớ đến lý thuyết KAM. Phần I của bài báo trình bày các kết quả và phương pháp đã sử dụng.

Mục lục chi tiết:

• 1. A problem of the growth of the number of periodic points and decay of hyperbolicity for generic diffeomorphisms
• 1.1. Introduction
• 1.2. Prevalence in the space of diffeomorphisms Diff (M)
• 1.3. Formulation of the main result in the multidimensional case
• 1.4. Formulation of the main result in the 1-dimensional case
• 2. Strategy of the proof
• 2.1. Various perturbations of recurrent trajectories by Newton interpolation polynomials
• 2.2. Newton interpolation and blow-up along the diagonal in multijet space
• 3. A model problem: C2-smooth maps of the interval I = [-1,1]
• 4. Comparison of the discretization method in 1-dimensional and N-dimensional cases
• References