Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về cực trị hàm lồi

Về Cực Trị Hàm Lồi

Tác giả: Nguyễn Đình Thọ

Lĩnh vực: Toán Giải Tích

Nội dung tài liệu:

Luận văn Thạc sĩ Toán học này tập trung nghiên cứu về cực trị của hàm lồi trên tập lồi. Nội dung luận văn bao gồm ba chương chính. Chương đầu tiên trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích lồi, bao gồm khái niệm tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân, đạo hàm theo hướng và tính khả vi của hàm lồi. Chương hai đi sâu vào bài toán cực tiểu hàm lồi trên tập lồi, bao gồm sự tồn tại nghiệm tối ưu, điều kiện tối ưu, đối ngẫu Lagrange và các phương pháp giải cơ bản như phương pháp chiếu dưới đạo hàm và thuật toán Frank-Wolfe. Chương cuối cùng đề cập đến bài toán cực đại hàm lồi trên tập lồi, với các tính chất cơ bản và hai phương pháp giải là phương pháp xấp xỉ ngoài và thuật toán nhánh cận. Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội.

Mục lục chi tiết:

• Lời nói đầu
• Chương 1. Các kiến thức cơ bản về giải tích lồi
  • 1.1. Tập lồi
  • 1.2. Hàm lồi
  • 1.3. Dưới vi phân
    • 1.3.1. Khái niệm
    • 1.3.2. Phép tính với dưới vi phân
  • 1.4. Đạo hàm theo hướng và tính khả vi của hàm lồi
• Chương 2. Cực tiểu hàm lồi trên tập lồi
  • 2.1. Phát biểu bài toán
  • 2.2. Sự tồn tại nghiệm tối ưu
  • 2.3. Điều kiện tối ưu
    • 2.3.1. Bài toán với ràng buộc đẳng thức
    • 2.3.2. Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức
  • 2.4. Đối ngẫu Lagrange
  • 2.5. Các phương pháp giải cơ bản
    • 2.5.1. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm
    • 2.5.2. Thuật toán Frank-Wolfe
• Chương 3. Cực đại hàm lồi trên tập lồi
  • 3.1. Phát biểu bài toán
  • 3.2. Tính chất cơ bản
  • 3.3. Các phương pháp giải cơ bản
    • 3.3.1. Phương pháp xấp xỉ ngoài
    • 3.3.2. Phân hoạch không gian và thuật toán nhánh cận
• Kết luận
• Tài liệu tham khảo