Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ước lượng gradient cho phương trình khuếch tán phi tuyến trên đa tạp Riemann

Ước Lượng Gradient Cho Phương Trình Khuếch Tán Phi Tuyến Trên Đa Tạp Riemann

Tác giả: Đỗ Thị Hạnh

Lĩnh vực: Toán Giải Tích

Nội dung tài liệu:

Luận văn Thạc sĩ Toán học này tập trung nghiên cứu về ước lượng gradient cho các phương trình khuếch tán phi tuyến trên đa tạp Riemann. Cụ thể, luận văn đi sâu vào việc phân tích các ước lượng gradient cho phương trình Schrödinger với hàm thế vị h(x, t), xem xét hai trường hợp h là hàm không dương và hàm không âm. Các kết quả thu được nhằm mục đích chứng minh các bất đẳng thức Harnack và tính chất Liouville cho hàm điều hòa, mở rộng các kết quả cổ điển trong lĩnh vực này.

Luận văn bao gồm hai chương chính. Chương một cung cấp các khái niệm cơ bản về hình học vi phân, bao gồm đa tạp Riemann, toán tử Laplace, liên thông, độ cong Riemann, độ cong Ricci và độ cong Bakry-Émery. Chương hai tập trung vào việc chứng minh ước lượng gradient theo kiểu Hamilton cho phương trình nhiệt Schrödinger, đồng thời đưa ra một định lý mới cho trường hợp hàm thế vị h không âm.

Mục lục chi tiết:

• Mở đầu
• Chương 1: Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann
  • 1.1 Đa tạp Riemann
    • 1.1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann
      • A. Đa tạp trơn
      • B. Ánh xạ trơn
      • C. Véctơ tiếp xúc
      • D. Phân thớ tiếp xúc
    • 1.1.2 Liên thông Levi – Civita trên đa tạp Riemann
      • 1. Liên thông tuyến tính
      • 2. Liên thông Levi – Civita
        • a. Liên thông tương thích với metric
        • b. Liên thông không xoắn
        • c. Liên thông Levi – Civita
    • 1.1.3 Tensor độ cong, độ cong Ricci
      • 1. Tensor độ cong
• Chương 2: Ước lượng Gradient cho phương trình khuếch tán phi tuyến trên đa tạp Riemann
  • 2.1 Ước lượng Gradient cho phương trình Schrödinger với hàm thế vị h(x,t)
  • 2.2 Một vài ứng dụng
• Kết luận
• Tài liệu tham khảo